UNIVERSITÉ PARIS 13Master 2 - Mécan

UNIVERSITÉ PARIS 13
Master 2 - Mécanique et physique des matériaux
RAPPORT DE STAGE
Sujet de stage :
CALCUL DES FORCES NODALES DUES A UNE
DISLOCATION SUR UN ELEMENT DE SURFACE
TRIANGLE LINEAIRE
Présente par : HOANG The Khiem
Encadrant : M. Sylvain QUEYREAU, Maître de conférences
Villetaneuse, September 2013
Page 1
Table de matière
Remercicements ................................................................................................................................ 2
1. INTRODUCTION ................................................................................................................. 3
2. ETUDE BIBLIOGAPHIE ...................................................................................................... 4
2.1. Rappel sur le modèle d’Eshelby: [Pinot 2010], [Hoang et al. 2011], [Zaoui 1998] .......... 4
2.1.1. Problème de l’inclusion (problème I) ............................................................................ 4
2.1.2. Problème de l’inhomogénéité (problème II) .................................................................. 5
2.2. Interaction entre une dislocation et une inclusion cylindrique [Dundurs 1969]............. 6
2.2.1. Interaction de la dislocation vis .............................................................................. 6
2.2.2. Dislocation coin dans la position générale dans la matrice ..................................... 7
2.3. Couplage dislocation dynamique dans l’élément fini .................................................... 8
3. MISE EN PRATIQUE DU PROBLEME D’ESHELBY DANS COMSOL ............................. 9
3.1. Problème considéré ....................................................................................................... 9
3.2. Vérifications des conditions des simulations ............................................................... 10
3.2.1. Inhomogénéité d’ESHELBY .................................................................................. 10
3.2.2. Inclusion d’ESHELBY ............................................................................................... 11
3.3. Le cas des matériaux faiblement anisotropes............................................................... 13
3.3.1 Les réseaux de la particule et de la matrice sont coïncidants. ...................................... 13
3.3.2 La matrice et la particule présentent une relation d’orientation ................................... 14
4. CALCUL D’UNE FORCE NODALE PAR UNE DISLOCATION SUR UN ELEMENT DE
SURFACE TRIANGLE .............................................................................................................. 19
4.1. Géométrie du problème................................................................................................ 19
4.2. Analyse les expressions de la force nodale de la dislocation ........................................ 22
4.3. Les intégrales initiales ................................................................................................. 27
4.4. Algorithme de calcul.................................................................................................... 28
Conclusion ..................................................................................................................................... 29
Bibliographies ................................................................................................................................ 30

Page 2
Remercicements
Je voudrais premièrement exprimer mon remerciement à l’Institut de Galilée qui m’a donné
l’occasion de faire ce stage.
Je remercie le laboratoire LSPM de m’avoir permis de bien effectuer ce travail. Grâce à cette
opportunité, j’ai pu compléter ma formation et surtout j’ai obtenu plusieurs expériences de
travail qui vont m’être très utiles à l’avenir.
Je souhaite remercier particulièrement Monsieur Sylvain QUEYREAU, mon responsable de
stage, pour son accueil et son aide dans mon intégration au cœur et pour m’avoir accompagné
durant ces quatre mois. Pendant le travail, il m’a donné non seulement des connaissances
professionnelles mais aussi des conseils sur les problèmes que l’on peut rencontrer dans le
monde du travail.
Je souhaite remercier également à Monsieur Radhi ABDELMOULA, mon responsable de la
formation MPM2, pour ses partages de connaissance, pour ses conseils pendant le temps que
je travaille au laboratoire.
Je voudrais destiner un grand remerciement à mes amis du laboratoire LSPM qui m’ont aidé
beaucoup pour que je puisse bien réaliser mon stage et m’ont particulièrement offert une
ambiance amicale lors du travail.
Page 3
1. INTRODUCTION
Dans les alliages, l’ajout de particule de seconde phrase dans une matrice permet d’améliorer
les propriétés mécaniques des matériaux.
Un premier effet, beaucoup discutes, est l’Effet ESHELBY : parce que les propriétés
mécanique sont différentes entre la particule et la matrice sont différents, ils existent un
champ de contrainte ( )  ij X
 dans la matrice ( X
 est ici le vecteur de position). Eshelby a
proposé un modèle analytique dans le cas ou la matrice et la particule sont des milieux
isotropes élastiques parfaits. Ce modèle relativement simple marche bien pour les hypothèses
proposées et reste très utilisés comme dans les simulations de Dynamique de Dislocations.
Dans les matériaux réels, il y a des dislocations qui sont les défauts linéaires du réseau
cristallin qui sont associées à la plasticité, déformation irréversible des matériaux cristallins.
Les dislocations sont aussi sources d’un champ de contrainte ( ) dislo  ij X
 . Avant même que des
dislocations entrent en contacte avec des particules, les deux champs de contrainte de vont
interagir.
Il existe un modèle analytique [Dundurs] à deux dimensions de l’interaction d’une
dislocation droite avec une particule cylindrique. Mais dans le cas général, on a besoin d’un
modèle à trois dimensions pour rendre le compte interaction de la dislocation et la particule.
Une solution est alors un couplage entre Dynamique Dislocation (DD) avec les Eléments
Finis (EF).Dans ce couplage DD/EF, on a besoin de calculer la force nodale associée aux
tractions non relaxées dues aux dislocations sur la surface du domaine considéré. Ceci est un
calcul très important qui met en jeu une intégrale triple (sur la surface de l’élément et le long
de la dislocation). Ce calcul est généralement fait de manière numérique et il est donc très
couteux. Un modèle analytique serait bien plus rapide et précis.
Dans ce contexte, le premier objectif du stage est de se familiariser avec le modèle d’Eshelby
et « en explorer le domaine validé » par des simulations modèles en utilisant le logiciel EF
COMSOL.
Dans un deuxième temps, on propose un modèle analytique pour le calcul des forces
nodales dues à une dislocation droite sur un élément de surface triangulaire. Les intégrales
triples requises pour le calcul de la force nodale sont obtenues par une séquence
d’intégrations et un formalisme en récurrence.
Page 4
2. ETUDE BIBLIOGAPHIE
2.1.Rappel sur le modèle d’Eshelby: [Pinot 2010], [Hoang et al. 2011], [Zaoui
1998]
Selon Eshelby, une inclusion est défini comme un sous-domaine 1 dans un domaine infini
 où une contrainte-libre eigenstrain ε*est prescrite à l'inclusion et est nulle en dehors. La
propriété matérielle, notée CM est la même dans 1 et     1 . De la même manière, une
homogénéité définie comme un sous-domaine ΩH dans un domaine infini  où les
propriétés des matériaux dans  et     H notée respectivement par CF et CM sont
différentes.
A partir des définitions ci-dessus, il est clair que, dans un problème de l’inclusion, une
eigenstrain est distribué dans un matériau homogène, tandis que pour le problème
d’inhomogénéité, un autre matériau est noyé dans une matrice homogène, conduisant à un
matériau hétérogène (composite). Les champs de déformation et de contrainte seront
perturbés en raison de l'existence de l’eigenstrain ou de l'inhomogénéité.
Problème de l’inclusion Problème de l’inhomogénéité
2.1.1. Problème de l’inclusion (problème I)
Une inclusion I est soumise à 0 ( : ) I L p C    dans un milieu infini de modules 0 C soumis à E
homogène à l’infini [Zaoui] :
0
0 0 0
:
: ( : ) :
I I
I I
E P P
C E I C P p


 
  
Avec E : La déformation macroscopique
Page 5
0 C : La matrice des constantes d’élasticité de la matrice dans le problème de l’inclusion
I  : La contrainte d’inclusion I : Tenseur unité du quatrième ordre
I  : La déformation d’inclusion 0 P : Tenseur précontrainte en dehors de l’inclusion
I p : Le champ de précontrainte
Dans un problème a géométrie Centro-symétrique, le champ de déplacement est radiale, on
obtient l’expression de la pression hydrostatique interne et la contrainte Von Mises extérieur
suivants : [Hoang]
int
1
3
3
1
2 (3 2 )(1 2 ) ( ) 3 ( 1) 2 (2 1)
( ) 6 (1 ) 3 ( 1) 2 (2 1)
h
vM
ext
r
R
R
r
R r
    
  

     
     
 
  
1 2 1 1 Avec R R R R  / ( ) /   représente la strain misfit (eigenstrain)
R1 , R2 :Le rayon sans contrainte de la matrice et de la particule
 ,  : Les constants de Lamé : le coefficient de Poisson
r : La norme du vecteur position
On a vu que la contrainte Von mises à l’extérieur de la particule est indépendant avec r , elle
n’est pas la fonction de r à l’intérieur
2.1.2. Problème de l’inhomogénéité (problème II)
Une hétérogénéité H est soumise à H c dans une matrice infinie 0 C soumis à E homogène à
l’infini :
0 0 1
0 0 1
[ : ( )] :
: [ : ( )] :
H H
H H H
I P c C E
c I P c C E




  
  
Où H c : La matrice des constantes d’élasticité de l’homogénéité
Dans le problème symétrique, la pression hydrostatique interne int ( ) h  r n’est pas la fonction
de la distance, et est uniforme partout à l’intérieur de l’inhomogénéité, la contrainte Von
Mises est une fonction qui dépend 3
1
r .
Page 6
int
3 (3

Kết quả (Việt) 1:

ĐẠI HỌC PARIS 13Chủ 2 - cơ khí và vật lý vật liệuBÁO CÁO THỰC TẬPTiêu đề khóa học:TÍNH TOÁN CỦA CÁC LỰC LƯỢNG NÚT DO APHÂN CHIA TRÊN MỘT YẾU TỐ BỀ MẶTTAM GIÁC TUYẾN TÍNHTrình bày bởi: hoàng khiêmKhung: Ông Sylvain QUEYREAU, giảng viênVilletaneuse, tháng 9 năm 2013 Trang 1Bảng nội dungRemercicements ................................................................................................................................ 21. INTRODUCTION ................................................................................................................. 32. ETUDE BIBLIOGAPHIE ...................................................................................................... 42.1 lời nhắc trên mô hình Eshelby: [Pinot 2010], [hoàng et al. 2011], [Zain 1998]... 42.1.1 bao gồm vấn đề (vấn đề tôi)... 42.1.2 vấn đề inhomogeneity (vấn đề II)... 52.2 sự tương tác giữa một phân chia và một bao gồm hình trụ [Dundurs 1969]... 62.2.1 các tương tác của các phân chia sống... 62.2.2 phân chia góc nói chung vị trí trong ma trận... 72.3 khớp nối động phân chia trong phần tử hữu hạn... 83 THỰC HIỆN THỰC TẾ CỦA ESHELBY TRONG COMSOL VẤN ĐỀ... 93.1. Problème considéré ....................................................................................................... 93.2. kiểm tra các điều kiện của mô phỏng... 103.2.1 inhomogeneity của ESHELBY... 103.2.2. Inclusion d’ESHELBY ............................................................................................... 113.3. trường hợp vật liệu đẳng hướng yếu... 133.3.1 các mạng của các hạt và ma trận trùng hợp. ...................................... 133.3.2 Ma trận và các hạt có một mối quan hệ hướng... 144. TÍNH TOÁN CỦA MỘT LỰC LƯỢNG NÚT CỦA MỘT PHÂN CHIA TRÊN MỘT PHẦN TỬ CỦASURFACE TRIANGLE .............................................................................................................. 194.1. Géométrie du problème................................................................................................ 194.2 phân tích biểu hiện của các lực lượng nút của phân chia... 224.3. Les intégrales initiales ................................................................................................. 274.4. Algorithme de calcul.................................................................................................... 28Conclusion ..................................................................................................................................... 29Bibliographies ................................................................................................................................ 30 Page 2RemercicementsJe voudrais premièrement exprimer mon remerciement à l’Institut de Galilée qui m’a donnél’occasion de faire ce stage.Je remercie le laboratoire LSPM de m’avoir permis de bien effectuer ce travail. Grâce à cetteopportunité, j’ai pu compléter ma formation et surtout j’ai obtenu plusieurs expériences detravail qui vont m’être très utiles à l’avenir.Je souhaite remercier particulièrement Monsieur Sylvain QUEYREAU, mon responsable destage, pour son accueil et son aide dans mon intégration au cœur et pour m’avoir accompagnédurant ces quatre mois. Pendant le travail, il m’a donné non seulement des connaissancesprofessionnelles mais aussi des conseils sur les problèmes que l’on peut rencontrer dans lemonde du travail.Je souhaite remercier également à Monsieur Radhi ABDELMOULA, mon responsable de laformation MPM2, pour ses partages de connaissance, pour ses conseils pendant le temps queje travaille au laboratoire.Je voudrais destiner un grand remerciement à mes amis du laboratoire LSPM qui m’ont aidébeaucoup pour que je puisse bien réaliser mon stage et m’ont particulièrement offert uneambiance amicale lors du travail. Page 31. INTRODUCTIONDans les alliages, l’ajout de particule de seconde phrase dans une matrice permet d’améliorerles propriétés mécaniques des matériaux.Un premier effet, beaucoup discutes, est l’Effet ESHELBY : parce que les propriétésmécanique sont différentes entre la particule et la matrice sont différents, ils existent unchamp de contrainte ( )  ij X dans la matrice ( X est ici le vecteur de position). Eshelby aproposé un modèle analytique dans le cas ou la matrice et la particule sont des milieuxisotropes élastiques parfaits. Ce modèle relativement simple marche bien pour les hypothèsesproposées et reste très utilisés comme dans les simulations de Dynamique de Dislocations. Dans les matériaux réels, il y a des dislocations qui sont les défauts linéaires du réseaucristallin qui sont associées à la plasticité, déformation irréversible des matériaux cristallins.Les dislocations sont aussi sources d’un champ de contrainte ( ) dislo  ij X . Avant même que desdislocations entrent en contacte avec des particules, les deux champs de contrainte de vontinteragir. Il existe un modèle analytique [Dundurs] à deux dimensions de l’interaction d’unedislocation droite avec une particule cylindrique. Mais dans le cas général, on a besoin d’unmodèle à trois dimensions pour rendre le compte interaction de la dislocation et la particule.Une solution est alors un couplage entre Dynamique Dislocation (DD) avec les ElémentsFinis (EF).Dans ce couplage DD/EF, on a besoin de calculer la force nodale associée auxtractions non relaxées dues aux dislocations sur la surface du domaine considéré. Ceci est uncalcul très important qui met en jeu une intégrale triple (sur la surface de l’élément et le longde la dislocation). Ce calcul est généralement fait de manière numérique et il est donc trèscouteux. Un modèle analytique serait bien plus rapide et précis.Dans ce contexte, le premier objectif du stage est de se familiariser avec le modèle d’Eshelbyet « en explorer le domaine validé » par des simulations modèles en utilisant le logiciel EFCOMSOL.Dans un deuxième temps, on propose un modèle analytique pour le calcul des forcesnodales dues à une dislocation droite sur un élément de surface triangulaire. Les intégralestriples requises pour le calcul de la force nodale sont obtenues par une séquenced’intégrations et un formalisme en récurrence. Page 42. ETUDE BIBLIOGAPHIE2.1.Rappel sur le modèle d’Eshelby: [Pinot 2010], [Hoang et al. 2011], [Zaoui1998]Selon Eshelby, une inclusion est défini comme un sous-domaine 1 dans un domaine infini où une contrainte-libre eigenstrain ε*est prescrite à l'inclusion et est nulle en dehors. Lapropriété matérielle, notée CM est la même dans 1 et     1 . De la même manière, unehomogénéité définie comme un sous-domaine ΩH dans un domaine infini  où lespropriétés des matériaux dans  et     H notée respectivement par CF et CM sontdifférentes.A partir des définitions ci-dessus, il est clair que, dans un problème de l’inclusion, uneeigenstrain est distribué dans un matériau homogène, tandis que pour le problèmed’inhomogénéité, un autre matériau est noyé dans une matrice homogène, conduisant à unmatériau hétérogène (composite). Les champs de déformation et de contrainte serontperturbés en raison de l'existence de l’eigenstrain ou de l'inhomogénéité. Problème de l’inclusion Problème de l’inhomogénéité2.1.1. Problème de l’inclusion (problème I)Une inclusion I est soumise à 0 ( : ) I L p C    dans un milieu infini de modules 0 C soumis à Ehomogène à l’infini [Zaoui] :00 0 0:: ( : ) :I II IE P PC E I C P p   Avec E : La déformation macroscopique Page 50 C : La matrice des constantes d’élasticité de la matrice dans le problème de l’inclusionI  : La contrainte d’inclusion I : Tenseur unité du quatrième ordreI  : La déformation d’inclusion 0 P : Tenseur précontrainte en dehors de l’inclusionI p : Le champ de précontrainteDans un problème a géométrie Centro-symétrique, le champ de déplacement est radiale, onobtient l’expression de la pression hydrostatique interne et la contrainte Von Mises extérieursuivants : [Hoang]int13312 (3 2 )(1 2 ) ( ) 3 ( 1) 2 (2 1)( ) 6 (1 ) 3 ( 1) 2 (2 1)hvMextrRRrR r                   1 2 1 1 Avec R R R R  / ( ) /   représente la strain misfit (eigenstrain)R1 , R2 :Le rayon sans contrainte de la matrice et de la particule ,  : Les constants de Lamé : le coefficient de Poissonr : La norme du vecteur positionOn a vu que la contrainte Von mises à l’extérieur de la particule est indépendant avec r , ellen’est pas la fonction de r à l’intérieur2.1.2. Problème de l’inhomogénéité (problème II)Une hétérogénéité H est soumise à H c dans une matrice infinie 0 C soumis à E homogène àl’infini :0 0 10 0 1[ : ( )] :: [ : ( )] :H HH H HI P c C Ec I P c C E     Où H c : La matrice des constantes d’élasticité de l’homogénéitéDans le problème symétrique, la pression hydrostatique interne int ( ) h  r n’est pas la fonctionde la distance, et est uniforme partout à l’intérieur de l’inhomogénéité, la contrainte VonMises est une fonction qui dépend 3
1
r .
Page 6
int
3 (3

Kết quả (Việt) 2:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PARIS 13
Master 2 - Cơ học và vật lý của vật liệu
BÁO CÁO QUẢN CHẾ
tập Topic:
TÍNH LỰC LƯỢNG DO nút
trật khớp ON A MẶT ELEMENT
TAM GIÁC LINEAR
Trình bày bởi Hoàng Khiêm Các
Supervisor: Sylvain QUEYREAU, Giảng viên
villetaneuse , Tháng 9 năm 2013
Page 1
Mục lục
Remercicements 2
1. GIỚI THIỆU 3
2. NGHIÊN CỨU BIBLIOGAPHIE 4
2.1. Nhớ lại những mô hình Eshelby: [Pinot 2010], [Hoàng et al. 2011], [1998 Zaoui] .......... 4
2.1.1. Vấn đề Inclusion (vấn đề I) ......................................... ................................... 4
2.1.2. Vấn đề của tính không đồng nhất (vấn đề II) ......................................... ......................... 5
2.2. Sự tương tác giữa một trật khớp và một sự bao gồm hình trụ [Dundurs 1969] ............. 6
2.2.1. Tương tác của trật khớp vít ............................................. ................................. 6
2.2.2. Cạnh trật khớp ở vị trí chung trong ma trận ..................................... 7
2.3. Trật khớp nối năng động trong các phần tử hữu hạn .......................................... .......... 8
3. TRONG THỰC TIỄN VẤN ĐỀ TRÊN COMSOL Eshelby ........................... .. 9
3.1. Vấn đề xem xét 9
3.2. Kiểm tra mô phỏng điều kiện ............................................. .................. 10
3.2.1. Không đồng nhất Eshelby .............................................. .................................... 10
3.2.2. Bao gồm Eshelby .............................................. ................................................. 11
3.3. Đối với vật liệu đẳng hướng thấp ............................................ ................... 13
3.3.1 mạng của các hạt và các ma trận là sự trùng hợp. ...................................... 13
3.3.2 ma trận và các hạt có một mối quan hệ Định hướng ................................... 14
4. TÍNH TOÁN FORCE nút bằng cách vặn ON PHẦN CỦA
TAM GIÁC AREA 19
4.1. Hình học 19
4.2. Phân tích biểu thức của lực lượng nút của trật khớp ........................................ 22
4.3. Tích ban đầu ............................................... .................................................. 27
4.4. Algorithm 28
Kết luận 29
Thư mục 30 Page 2 Remercicements Tôi muốn trước hết là để bày tỏ lời cảm ơn đến Viện Galilee đã cho tôi cơ hội để làm khóa học này. Tôi cảm ơn các phòng thí nghiệm LSPM cho phép tôi làm công việc này tốt. Thông qua này cơ hội, tôi có thể hoàn thành đào tạo của tôi và trên tất cả tôi có một số kinh nghiệm làm việc bản thân mình rằng sẽ rất hữu ích trong tương lai. Tôi muốn đặc biệt cảm ơn ông Sylvain QUEYREAU, đầu của tôi về khóa học, cho chào đón ông và hỗ trợ trong trái tim tôi và hội nhập cạnh tôi trong suốt bốn tháng. Trong khi làm việc, ông đã cho tôi không chỉ kiến thức chuyên môn mà còn tư vấn về vấn đề bạn có thể gặp phải trong thế giới của công việc. Tôi muốn cảm ơn ông cũng Radhi ABDELMOULA, trách nhiệm của tôi đào tạo cho MPM2 cổ phần kiến thức của mình để được hướng dẫn của mình trong suốt thời gian tôi làm việc trong phòng thí nghiệm. Tôi sẽ để riêng cho một lớn nhờ vào những người bạn của tôi từ phòng thí nghiệm LSPM đó đã giúp tôi rất nhiều nên tôi cũng có thể nhận ra thực tập của tôi và đưa cho tôi một đặc biệt . không khí thân thiện trong công việc Page 3 1. GIỚI THIỆU Trong các hợp kim, việc bổ sung các hạt câu thứ hai trong một ma trận cải thiện các tính chất cơ học của vật liệu. Một tác dụng đầu tiên, nhiều thảo luận, là hiệu ứng Eshelby: vì các tính chất cơ học là khác nhau giữa các hạt và các ma trận khác nhau, chúng tồn tại một lĩnh vực căng thẳng () X ij   trong ma trận (X  đây là vector vị trí). Eshelby đã đề xuất một mô hình phân tích trong trường hợp ma trận và các môi trường hạt là hoàn hảo đẳng hướng đàn hồi. Mô hình tương đối đơn giản này hoạt động tốt cho các giả thuyết được đề xuất và được sử dụng rộng rãi như trong trật khớp động mô phỏng. Trong tài liệu thực tế, có những lệch tuyến tính được các khuyết tật mạng tinh ống kính có liên quan với độ dẻo, biến dạng không thể đảo ngược vật liệu tinh thể. Trật khớp cũng là nguồn của một trường căng thẳng () X ij dislo  . Ngay cả trước khi trật khớp tiếp xúc với các hạt, hai lĩnh vực căng thẳng sẽ tương tác. Có một mô hình phân tích [Dundurs] tương tác hai chiều của một trật khớp đúng với một hạt hình trụ. Nhưng trong trường hợp tổng quát, chúng ta cần một mô hình ba chiều để tạo sự tương tác tài khoản của bất ổn và các hạt. Một giải pháp là sau đó một khớp nối giữa Trật khớp Dynamics (DD) với các yếu tố Finis (EF) .Tại này khớp nối DD / EF, người ta cần phải tính toán các lực nút liên kết với tractions không thoải mái do những biến trên bề mặt của lĩnh vực này. Đây là một tính toán rất quan trọng trong đó bao gồm một tích gấp ba lần (trên bề mặt của các yếu tố và dọc theo các trật khớp). Tính toán này thường được thực hiện bằng kỹ thuật số và do đó rất tốn kém. Một mô hình phân tích sẽ được nhanh hơn và chính xác hơn. Trong bối cảnh này, mục tiêu đầu tiên của khóa học là để làm quen với mô hình Eshelby và "khám phá những miền xác" của mô hình mô phỏng bằng cách sử dụng phần mềm FE COMSOL. Trong một Thứ hai, có được cung cấp một mô hình phân tích để tính toán các lực nút do một trục trặc trên một yếu tố bề mặt bên phải hình tam giác. Đầy đủ bộ ba yêu cầu để tính toán các lực nút thu được bằng một chuỗi các hình thức tích hợp và tái phát. Page 4 2. NGHIÊN CỨU BIBLIOGAPHIE 2.1.Rappel theo mô hình Eshelby: [Pinot 2010], [Hoàng et al . 2011], [Zaoui 1998] Theo Eshelby, một đưa được định nghĩa như là một tên miền phụ 1 trong một miền vô hạn  nơi căng thẳng-miễn phí eigenstrain ε * được quy định để thu nhận và là zero bên ngoài. Các CM tài liệu ký hiệu là như nhau trong 1 và     1. Tương tự như vậy, một sự đồng nhất định nghĩa là một ΩH tên miền phụ trong một miền vô hạn  nơi tính chất vật liệu và trong      H tương ứng ký hiệu là CF và CM là khác nhau. Từ các định nghĩa trên Rõ ràng là trong một vấn đề bao gồm cả một eigenstrain được phân phối trong một vật liệu đồng nhất, trong khi các vấn đề về tính không đồng nhất, một vật liệu khác được nhúng vào trong một ma trận đồng nhất, kết quả là một nguyên liệu không đồng nhất (composite) . Lĩnh vực biến dạng và biến dạng sẽ được phá vỡ do sự tồn tại của các eigenstrain hoặc không đồng nhất. Vấn đề của sự bao gồm vấn đề của tính không đồng nhất 2.1.1. Vấn đề Inclusion (vấn đề I) A tôi được đề cử là chủ đề 0 (C :) p NÀY    trong một module vừa vô hạn chịu 0 C E đồng nhất ở vô cực [Zaoui]: 0 0 0 0: : (:): II II EPP CEICP p        Với E: Các biến dạng vĩ mô Page 5 0 C: Ma trận của ma trận của các hằng số đàn hồi trong vấn đề đưa tôi : Cưỡng chế Inclusion I: thứ tư lệnh đơn vị tensor tôi : Biến dạng bao gồm P 0: tenxơ preload ngoài sự bao gồm I p: Các lĩnh vực ứng suất trước trong một vấn đề trong hình học Centro đối xứng, các lĩnh vực thuyên là xuyên tâm, chúng tôi có được sự biểu hiện của áp lực thủy tĩnh nội bộ và ứng suất Von Mises bên ngoài sau đây: [Hoàng] int 1 3 3 1 2 (3 2) (1 2) () 3 (1) 2 (2 1) () 6 (1) 3 (1) 2 (2 1) h VM ext r R R r R r                           1 2 1 1 Với RRRR  / () /   đại diện cho misfit chủng (eigenstrain) R1, R2: Bán kính mà không có ma trận ràng buộc và hạt , : Lame hằng : số Poisson r: Các định mức của các vị trí vector Chúng ta đã thấy rằng sự căng thẳng Von Mises ở bên ngoài của hạt là tự-r, nó không phải là chức năng của r trong 2.1.2. Vấn đề của tính không đồng nhất (vấn đề II) một đồng nhất H H c đang phải chịu trong một vô hạn ma trận E 0 C bị đồng nhất với vô cực: 0 0 1 0 0 1 [()]: [()] : HH HHH IP EC c c c EC IP           Trường hợp H c: Ma trận của các hằng số đàn hồi của tính đồng nhất trong các vấn đề đối xứng, các int áp suất thủy tĩnh nội bộ () h r  không phải là chức năng của khoảng cách, và thống nhất trong nội thất của sự không đồng nhất, sự hạn chế Von Mises là một hàm phụ thuộc vào 3 1 st. Page 6 int 3 (3